Syarat dan Rumus Fungsi Invers serta Contoh Soal - Baik pada kesempatan kali ini kita lanjutkan materi terkait Fungsi. Pada pertemuan kali ini kita akan membahas tentang Fungsi Invers. Ternyata untuk semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi juga memiliki invers. Fungsi dari suatu himpunan itu dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Ingat di artikel sebelumnya kita sudah pernah membahas apa itu fungsi, selain itu juga kita sudah pernah memberikan fungsi yang bisa di komposisikan. Kembali lagi ke pembahasan awal, fungsi komposisi juga bisa di ubah menjadi fungsi invers begitu juga sebaliknya. Oke langsung saja kita langsung masuk ke pembahasan Fungsi Invers. Perhatikan dengan baik-baik ya teman Sains Seru.
Fungsi Invers
Jika fungsi f = A → B dinyatakan dengan pasangan terurut f = {(a, b) | a ∊ A dan b ∊ B} maka invers fungsi f adalah f ' = b → A ditentukan oleh f ' = {(b, a) | b ∊ B dan a ∊ A}. Untuk lebih memudahkan yuk kita lihat gambar berikut ini.
Sesuai pembahasan kita di awal, suatu fungsi f akan mempunyai invers yaitu f ' jika fungsi f bersifat bijektif (korespondensi satu-satu). Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka f ' merupakan fungsi invers f jika berlaku (f ' ∘ f)(x) = x. dan (f ∘ f ')(x) = x. Perhatikanlah gambar berikut ini.
Untuk bisa menyelesaikan fungsi invers dari suatu fungsi f, maka bisa menggunakan cara-cara berikut ini:
a. Buatlah permisalan f(x) = y dari suatu persamaan yang diberikan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah variabel y dengan x, sehingga bentuknya akan menjadi f(y) = f '(x).
Itulah cara untuk mencari fungsi invers, baiklah untuk melancarkan materi yuk kita latih materi ini dengan contoh soal. Perhatikan baik-baik ya teman Sains Seru.
Contoh soal 1.
Jika diketahui fungsi f(x) = x / (x + 2), x ≠ -2. Tentukan fungsi inversnya.
Jawab
Misal f(x) = y, maka soal diatas berubah menjadi.
f(x) = x / (x + 2)
y = x / (x + 2)
y(x + 2) = x
yx + 2y = x
2y = x - yx
2y = x (1 - y)
x = 2y / (1 - y)
f(y) = 2y / (1 - y)
f '(x) = 2x / (1 - x)
Contoh soal 2.
Diketahui f = R → R dengan ketentuan f(x) = 3x + 8. Tentukanlah:
a. f '(x).
b. (f ' ∘ f)(x).
c. (f ∘ f ')(x).
d. Buktikan bahwa (f ' ∘ f)(x) = (f ∘ f ')(x).
Jawab
a. Misal f(x) = y, maka soal diatas berubah menjadi.
f(x) = 3x + 8
y = 3x + 8
y - 8 = 3x
(y - 8) / 3= x
x = (y - 8) / 3
f(y) = (y - 8) / 3
f '(x) = (x - 8) / 3
f '(x) = ⅓x - ⁸/₃
b. (f ' ∘ f)(x) = f '(f(x))
= f '(3x + 8)
= ⅓(3x + 8) - ⁸/₃
= x + ⁸/₃ - ⁸/₃
= x
c. (f ∘ f ')(x) = f(f '(x))
= f (⅓x - ⁸/₃)
= 3(⅓x - ⁸/₃) + 8
= x - 8 + 8
= x
d. Dari jawaban b dan c sudah membuktikan bahwa (f ' ∘ f)(x) = (f ∘ f ')(x) = x.
Contoh soal 3.
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 5, x ∊ R. Tentukanlah:
a. Rumus f '(x).
b. Hitunglah f '(0), f '(2), dan f '(3).
Jawab
a. Misal f(x) = y, maka soal diatas berubah menjadi.
f(x) = 2x + 5
y = 2x + 5
y - 5 = 2x
(y - 5) / 2= x
x = (y - 5) / 2
f(y) = (y - 5) / 2
f '(x) = (x - 5) / 2
Jadi, rumus f '(x) = (x - 5) / 2.
b. f '(x) = (x - 5) / 2
f '(0) = (0 - 5) / 2
= -5 / 2
f '(2) = (2 - 5) / 2
= -3 / 2
f '(3) = (3 - 5) / 2
= -1
Contoh soal 4.
Diketahui fungsi f(x) = (x + 3) / (2x - 4), untuk x ≠ 2. tentukanlah rumus dari f '(x).
Jawab
Misal f(x) = y, maka soal diatas berubah menjadi.
f(x) = (x + 3) / (2x - 4)y = (x + 3) / (2x - 4)
y(2x - 4) = x + 3
2xy - 4y = x + 3
2xy - x = 4y + 3
x(2y - 1) = 4y + 3
x = 4y + 3 / (2y - 1)
f(y) = 4y + 3 / (2y - 1)
f '(x) = 4x + 3 / (2x - 1)
Jadi, rumus f '(x) = 4y + 3 / (2y - 1), untuk x ≠ ½.
Menggambar Grafik Fungsi Invers
Untuk bisa menggambar grafik f '(x) dan f(x), perhatikanlah gambar berikut ini.
Dari gambar di atas dapat di lihat bahwa y = f(x) maka x = f(y). Demikian juga, jika x = f(y) maka y = f(x). Dengan demikian bisa dikatakan bahwa fungsi pemetaan A ke B bersifat bijektif dan memiliki fungsi invers.
Contoh soal 5.
Diketahui f(x) = x + 3. Gambarlah grafik dari fungsi f '(x) dan f(x).
Jawab
Misal f(x) = y, maka soal diatas berubah menjadi.
f(x) = x + 3
y = x + 3
y = x + 3
y - 3 = x
x = y - 3
f(y) = y - 3
f '(x) = x - 3
Grafiknya
Syarat dan Rumus Fungsi Invers serta Contoh Soal - Demikainlah pembahasan materi Syarat dan Rumus Fungsi Invers. Semoga pembahasan di pertemuan kali ini bisa bermanfaat bagi teman setia Sains Seru ya. Jika nanti terdapat hal yang kurang jelas bisa langsung ketikkan di kolom komentar ya. Terimakasih sudah mau membaca artikel disini, jangan lupa juga untuk selalu mengikuti update artikel disini ya. Sampai berjumpa di pertemuan selanjutnya ya. See You.